動力系統(tǒng)研究系統(tǒng)的狀態(tài)或性質(zhì)在一套固定規(guī)則下如何更迭變化。當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)與狀態(tài)變化規(guī)則已知，理論上可得之后任一時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)，但實(shí)際上由于對初始條件的測量存在誤差，以及計(jì)算過程中對數(shù)值的約算，對系統(tǒng)狀態(tài)的精準(zhǔn)預(yù)測被畫上問號。

【資料圖】

本文試著回答以下幾個(gè)問題：如何對動力系統(tǒng)進(jìn)行分析？存在不可預(yù)測的動力系統(tǒng)嗎？導(dǎo)致不可預(yù)測的原因是什么？希望幫助大家對動力系統(tǒng)有更深的理解。

一、戀愛動力學(xué)：羅密歐與朱麗葉的愛恨情仇

高中時(shí)我們都有學(xué)過導(dǎo)數(shù)，對于：一定不陌生。

表示 R 隨時(shí)間 t 的變化，所以當(dāng)我們知道 f，也就知道了 R 的變化規(guī)則，且該規(guī)則是固定不變的。在這樣的情況下，只要該系統(tǒng)的初始條件已知，理論上我們就能夠利用這個(gè)變化規(guī)則 f 推導(dǎo)出之后任一時(shí)刻的 R。上述過程就是我們?nèi)シ治觥㈩A(yù)測一個(gè)動力系統(tǒng)的基本思路，但這個(gè)系統(tǒng)是一個(gè)僅包含一個(gè)變量 R 的一維系統(tǒng)，并沒有其他變量與其進(jìn)行交互，所以略顯單調(diào)。

下面我們加入一個(gè)新變量 J 到系統(tǒng)中，給兩個(gè)變量賦予含義，并且讓他們之間產(chǎn)生互動，從而使我們的系統(tǒng)豐富起來。

我們假設(shè)此時(shí)愛可以量化， R 表示羅密歐愛朱麗葉的程度，J 表示朱麗葉愛羅密歐的程度，而他們雙方愛意的變化遵從這個(gè)規(guī)則：

其中 a、d、c、d 為任意常數(shù)。

當(dāng) a、d、c、d 取值組合不同，最終會使得 R 和 J 隨時(shí)間的變化呈現(xiàn)不同的樣態(tài)。比如當(dāng)四個(gè)常數(shù)取值，可以得到羅密歐與朱麗葉的愛意隨時(shí)間變化的圖像如下圖所示：

根據(jù)圖我們不難發(fā)現(xiàn)，在這段關(guān)系中，一方的愛意大小會對另一方的愛意的變化產(chǎn)生影響，而如何影響是由 a、 d、 c、d 取值決定。針對上例中取值狀況，我們?nèi)粝脒M(jìn)一步分析二人的愛意對對方的影響，不妨變換坐標(biāo)，以 R 為橫軸，J 為縱軸，得到兩人愛意動力系統(tǒng)的相圖：

如何分析該圖呢？我們?nèi)∮疑戏絽^(qū)域放大，按黃色箭頭方向來看，當(dāng)羅密歐的愛意上升時(shí)，朱麗葉的愛意會下降，以同樣的方法去分析另外三個(gè)部分，即可了解二人的愛意對對方的影響。

取不同 a、d、c、d，會得到不同的雙方愛意變化規(guī)則，如下圖所示，再根據(jù)二人愛意的初始值，可得到之后任一時(shí)刻，兩人對對方的愛意數(shù)值，并且根據(jù)兩人愛意變化的規(guī)則，編出二人間不同的愛情故事。

上述過程告訴我們，當(dāng)系統(tǒng)遵循不同的變化規(guī)則，會使得系統(tǒng)相圖呈現(xiàn)出不同樣態(tài)，取不同樣態(tài)間的共性，我們可以將相圖根據(jù)其收斂方向、形態(tài)等特點(diǎn)進(jìn)行分類，并根據(jù)系統(tǒng)相圖所屬的種類的特點(diǎn)，對該系統(tǒng)的發(fā)展有定性了解。

二、混沌：三體運(yùn)動不能精確求解

現(xiàn)在，我們再給系統(tǒng)內(nèi)加一個(gè)主體，并且讓他們之間存在非線性關(guān)系，也就是變化規(guī)則中存在非線性項(xiàng)，這就進(jìn)入到了所謂的 " 三體問題 "，事實(shí)上這個(gè)問題早在幾百多年前就被提出。

1885 年，在剛創(chuàng)刊不久的瑞典數(shù)學(xué)雜志上出現(xiàn)了一則引人注目的通告：為了慶祝瑞典和挪威國王奧斯卡二世在 1889 年的六十歲生日，將舉辦一次數(shù)學(xué)比賽，懸賞 2500 克朗和一塊金牌，比賽題目共有四個(gè)，其中第一個(gè)就是找到 " 多體問題 " 的所有解。而多體問題，又可追溯至 17 世紀(jì)晚期，當(dāng)牛頓發(fā)現(xiàn)運(yùn)動和引力定律時(shí)，牛頓定律非常清晰地闡述了行星軌道的形態(tài)。

乍看上去似乎只要應(yīng)用牛頓定律，就能計(jì)算出任何一組相互間存在引力作用的物體的運(yùn)動軌跡，可以是三體、四體或者任意數(shù)，只要知道起始狀態(tài)，通過萬有引力定律，一定可以把所有物體的任意位移計(jì)算到任意的精確程度。

龐加萊在讀博士期間就已經(jīng)開始研究太陽系中的多體問題，當(dāng)他看到這則通告，毫不猶豫便選擇了這個(gè)問題，他進(jìn)展迅速，并完成以任意精度計(jì)算三體的運(yùn)動軌跡，雖然這只解決了多體問題當(dāng)中的三體情況，但仍征服了評委，得到這一賽事的獎(jiǎng)勵(lì)，且他的解答論文也被刊登在《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》上。

不幸的是，很快他發(fā)現(xiàn)在證明的關(guān)鍵地方，忽略了數(shù)學(xué)函數(shù)的幾何行為的一種微妙可能性，因此他對于三體問題的解答是錯(cuò)誤的。龐加萊自費(fèi)找回了已經(jīng)被發(fā)放的雜志，并且更改了他的結(jié)論——從微積分的角度而言，萬有引力影響下相互作用的三體問題沒有可解析的積分解，這暗示著含有更多數(shù)目的多體問題也是無解的。

以上兩視頻展示了不同初始條件下的三體運(yùn)動，可以直觀發(fā)現(xiàn)它們的運(yùn)動十分混亂、無序，且在某時(shí)刻會因?yàn)橐椆脑虮桓咚購楅_。若用略為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言表述其之所以無法被預(yù)測的原因，是因?yàn)槊枋鏊鼈兊姆匠虩o法涵蓋和控制計(jì)算中細(xì)微的不確定性，即任何小數(shù)量級的誤差都會導(dǎo)致全然不同的運(yùn)動軌跡，這就是混沌的特性。

也正是因此，三體文明才會選擇對地球發(fā)起戰(zhàn)爭，而不是發(fā)展科技預(yù)測三顆太陽的運(yùn)動軌跡，因?yàn)槿魏斡^測或是計(jì)算上的微小誤差，會導(dǎo)出極具差異性的運(yùn)動軌跡，也就是摧毀了預(yù)測的能力。

三、蝴蝶效應(yīng)：其實(shí)人家叫 " 對初始條件的敏感性 " 啦

混沌呈現(xiàn)出系統(tǒng)對初始條件的敏感性，即同一系統(tǒng)，在初始條件有細(xì)微差異的前提下，會導(dǎo)出兩種完全不同的發(fā)展情況，其實(shí)也就是我們熟知的蝴蝶效應(yīng)：一只蝴蝶在巴西扇動一下翅膀會在美國的得克薩斯州引起一場龍卷風(fēng)。

拿洛倫茲系統(tǒng)來舉例，如下面的動圖所示，即使一開始兩個(gè)點(diǎn)相距很近，以至于運(yùn)動一段時(shí)間我們都看不出原來是兩個(gè)點(diǎn)，但隨著時(shí)間推移，兩個(gè)點(diǎn)儼然開始走起各自的軌道，且兩條軌道毫不相關(guān)，唯一的相似之處便是被限制在一定的運(yùn)動范圍內(nèi)，而這個(gè)是該系統(tǒng)兩個(gè)吸引子的影響。洛倫茲系統(tǒng)遵從的運(yùn)動規(guī)則由以下三個(gè)方程決定：

至于如何衡量一個(gè)系統(tǒng)對初始條件的敏感性，依靠的就是李雅普諾夫指數(shù)，它是用來描述兩個(gè)點(diǎn)相互遠(yuǎn)離的速度。如下圖所示的一個(gè)系統(tǒng)中的兩條軌道：

設(shè)初始時(shí)刻，兩點(diǎn)的距離為，t 時(shí)刻兩點(diǎn)的距離變?yōu)椋覀冊倭?t 時(shí)刻的距離約等于初始時(shí)刻的距離乘以一個(gè)隨時(shí)間指數(shù)增加的值，即：

其中即為李雅普諾夫指數(shù)。將等號左右兩邊取對數(shù)，可得如下形式的公式：

我們會發(fā)現(xiàn)該式的形式與直線的斜截式、相同，所以此時(shí)我們得到的圖將會成為一條直線。

我們發(fā)現(xiàn)李雅普諾夫指數(shù)就是系統(tǒng)實(shí)際曲線的近似直線的斜率，由此，我們便可以得到系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)。

同時(shí)，我們再回到定義李雅普諾夫指數(shù)的公式，會發(fā)現(xiàn)當(dāng)其為正時(shí)，因

為一定值，故會以指數(shù)速度增加，換言之，系統(tǒng)中兩點(diǎn)會以指數(shù)速度分離，也就是進(jìn)入兩條毫不相關(guān)的軌道。

而對于系統(tǒng)是否存在動力學(xué)混沌，可以從最大李雅普諾夫指數(shù)是否大于零非常直觀地進(jìn)行判斷——正李雅普諾夫指數(shù)，意味著在系統(tǒng)相空間中，無論初始時(shí)刻兩點(diǎn)距離多么靠近，其間距都會隨著時(shí)間成指數(shù)率的增加以致達(dá)到無法預(yù)測，這也就是我們所說的混沌現(xiàn)象，而李雅普諾夫指數(shù)的大小，暗示著兩點(diǎn)分開的速度，也就是系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)的速度，或者也可以說系統(tǒng)不再能被預(yù)測的速度。

此時(shí)再回過頭去看一些系統(tǒng)，根據(jù)其李雅普諾夫指數(shù)的大小，我們便能大致估計(jì)出對系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測的程度。例如對于太陽系各行星運(yùn)動，我們能預(yù)測到 400～500 萬年左右，對于天氣系統(tǒng)，我們能預(yù)測到 15 天左右，而對于混沌電路，則僅能預(yù)測 1 毫秒左右。

因此由于系統(tǒng)的非線性性質(zhì)，部分系統(tǒng)將面臨必然走向混沌的結(jié)果，故而我們不能僅通過觀測其在某一時(shí)刻的狀態(tài)與演化規(guī)律，就精確預(yù)測任意時(shí)刻后該系統(tǒng)的狀態(tài)。因此，就無須抱有一些不切實(shí)際的期待，比如希望天氣預(yù)報(bào)給出未來一個(gè)月的天氣情況。

四、對于混沌的最新研究

正如前文所講，多數(shù)非線性系統(tǒng)難以求解析解，因?yàn)橄噍^于線性系統(tǒng)，它不能分成幾個(gè)部分單獨(dú)求解，并重新整合。但自然界的很多復(fù)雜系統(tǒng)，如氣象變化、化學(xué)反應(yīng)、病毒感染、人口移動、社會行為等，各部分會相互影響、合作或競爭，也就是出現(xiàn)很多非線性作用，因此學(xué)會用整體的目光，關(guān)注系統(tǒng)中的復(fù)雜性與偶然性就顯得尤為重要。

混沌理論就是非線性科學(xué)中發(fā)展出的理論，它是關(guān)于系統(tǒng)從有序突然變?yōu)闊o序狀態(tài)的一種演化理論，是對不規(guī)則而又無法預(yù)測的現(xiàn)象及其過程的分析。

然而，混沌不是純粹的無序，而是不具備周期性變化和其他明顯對稱特征的有序態(tài)，因此該理論可以為我們研究自然科學(xué)或社會科學(xué)中諸多現(xiàn)象的不確定性做出解釋與分析。與此同時(shí)，該理論延展出的如何控制或利用混沌現(xiàn)象的研究，還被應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、非線性電路、天體力學(xué)、非線性機(jī)械故障診斷系統(tǒng)等諸多領(lǐng)域，向我們展示了其廣闊的發(fā)展前景。

本文內(nèi)容整理自北京師范大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)國際科學(xué)中心劉宇老師的直播：動力系統(tǒng)分析：" 三體 " 運(yùn)動為什么不能精確預(yù)測？本文來自微信公眾號：集智俱樂部 （ID：swarma_org），作者：劉宇，整理：董佳欣，編輯：鄧一雪，原文標(biāo)題：《如何預(yù)測混沌？從羅密歐與朱麗葉的戀愛動力學(xué)，到三體問題》